习题 37, § 6

(a) Let $G$ be a finite group, $H$ a normal subgroup of $G$, $p$ a prime number not dividing the order of $H$ and $P$ a Sylow $p$-subgroup of $G$. 证明 HP 是 $P$ 乘以 $H$ 的半直接乘积。

(b) 如果存在不同质数数除以阶的编号$p_1, \ldots, p_s$，我们说有限群$G$有性质（ST）

$G$ 和 Sylow $p_i$ - $G$ 的子群 $P_1, \ldots, P_s$，这样，对于 $1 \leq i \leq s$，集合 $G_i = P_1 P_2 \ldots P_i$ 是 $G$ 的正规子群。证明，如果是这样，$G_i$ 不依赖于 $P_i$ 的选择；它是阶$p_1^{a_1} \cdots p_i^{a_i}$唯一的$G$的子群；进一步地，$G_i$是$P_i$乘$G_{i-1}$的半直接乘积。

(c) 证明有限群 $G$ 具有性质 (ST) 当且仅当存在 $G$ 的 Sylow 子群 $P$，其在 $G$ 中是正规的，并且使得 $G/P$ 具有性质 (ST)。

(d) 证明群的每个子群、每个商群和每个中心扩张以及性质（ST）都有性质（ST）。