习题 16, § 7

如果群允许呈现$\langle (t_i)_{i \in I}, (r_j)_{j \in J} \rangle$，其中I是有限的集合（分别是，其中I和J是有限的集合），则群被称为“有限生成”（或“有限呈现”）。

(a) 设 G 是 G 的有限呈现的群和 $x = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ 有限生成族。证明存在族 x 的关系器的有限族 $s = (s_k)_{k \in K}$，使得 $(x, s)$ 是 G 的表示。（使用前面的习题。）

(b) 证明有限群是有限呈现的。

(c) 给出有限呈现的群的例和非有限生成的子群。

(d) 如果 G 是有限呈现的群并且 H 是 G 的正常子群，则显示等价的以下性质：

(i) G/H 是有限呈现的。

(ii) G 存在有限子集 X，使得H 是X 生成的G 的法线子群。

(iii) 如果$(H_i)_{i \in I}$是G的正规子群的右有向族，且并等于H，则存在$i \in I$使得$H_i = H$。

（用（a）证明（i）蕴涵（ii）。）

(e) 如果 G 是有限呈现的群，则证明 $G/C^r(G)$ 适用于所有 $r \geq 1$。 （使用 § 6、习题 15。）

(f) 令$(G_\alpha)_{\alpha \in A}$为群的家族，令$G = \prod_{\alpha \in A} G_\alpha$为$G_\alpha$的乘积。证明 G 是有限生成的（或有限呈现的）当且仅当每个 $G_\alpha$ 都是有限生成的（或有限呈现的）和 $G_\alpha = \{e\}$，除了 $\alpha$ 的有限数之外。