令 E=G∗AG′ 为由公共的子群 A 合并的两个群的和。令 P（分别为 P'）为 G（分别为 G'）的子集满足条件 (A) 的 no. 3。
设n为整数≥1。让Ln表示x∈E的集合，其减少的分解是长度≤2n−1。令Mn表示形式ap1p1′p2p2′…pnpn′x∈E集合，和a∈A,pi∈P−{e},pi′∈P′−{e}；类似地，令Mn′表示形式ap1′p1p2′p2…pn′pn的元素的集合，其中a,pi,pi′满足与条件相同。
(a) 证明Ln,Mn和Mn′是不相交的，并且它们的并是E的元素的集合，其减少的分解是长度≤2n。
(b) 将Mn的构造双射ε放到Mn′上，使得ε(ax)=aε(x)如果a∈A,x∈Mn。
(c) 设Xn=Ln∪Mn和Xn′=Ln∪Mn′；证明 G.Xn=Xn 和 G′.Xn′=Xn′。
(d) 如果 x∈Ln，则将 Xn 的ε 扩展到双射转移到 Xn′，再由设定 ε(x)=x 进行。证明E可以对Xn进行运算，使得如果g∈G,x∈Xn则g(x)=gx，如果g′∈G′,x∈Xn则g′(x)=ε−1(g′∈(x))。证明，如果 g∈Xn，则g(e)=g。
(e) 令τn:E→GXn为由上述Xn上的E的作用定义的同态，并令Rn为τn的核。表明 Rn∩Xn={e}；将 Rn 约化推导为 e 中的交。
(f) 当G和G′有限时，证明E残差有限（cf.§ 5，习题5）。 （注，那么Rn就是有限指标的子群。）