习题 37, § 7

令$G$为群，$S$为$G$生成的$G$的有限对称子集。令$\mathfrak{L}$表示$G$的有限子集的集合，按包含排序；是有向集合。

(a) 设$T \in \mathfrak{L}$且$B_T$为$S$-$G - T$的连通分量的集合（cf.习题18）；让$B_T^\infty = B_T - (\mathfrak{L} \cap B_T)$。证明$B_T$是有限的（注，如果$T \neq \varnothing$和$Z \in B_T$，则存在$t \in T$和$z \in Z$，它们是$S$的邻居）。

(b) 让 $T, T' \in \mathfrak{L}$ 与$T \subset T'$。若$Z' \in B_{T'}$，则证明存在唯一元素$Z \in B_T$使得$Z' \subset Z$； 映射$f_{TT'} : B_{T'} \to B_T$使得$f_{TT'}(Z') = Z$映射$B_{T'}^\infty$到$B_T^\infty$。 $B_T$的逆极限，其中$T$穿过$\mathfrak{L}$，用$B$表示。证明 $B = \lim \leftarrow B_T^\infty$ 并且 $B_T$ 中 $B$ 的像是 $B_T^\infty$。 $G$的两端的集合$B$称为集合；当且仅当 $G$ 是无穷大时，它才非空。

(c) 令$T$为$G$的非空$S$连接的有限子集，并令$Z \in B_T^\infty$。证明存在$g \in G$使得$gT \cap T = \varnothing$和$gT \cap Z \neq \varnothing$以及$gT \subset Z$。证明存在$Z_1 \in B_T$使得$gZ_1$包含$T$以及所有$Z' \in B_T$使得$Z' \neq Z$（观察$T \cup \bigcup_{Z' \neq Z} Z'$是$S$连通且不满足$gT$）；推断，如果$Z' \in B_T$与$Z_1$不同，则$gZ' \subset Z$。证明，在$B_{T'}^\infty$中写出$Z$的$T' = T \cup gT$、逆像至少包含$n - 1$元素，其中$n = \mathrm{Card}(B_T^\infty)$。

(d) 令$S'$为$G$的端部相对于$S'$的$G$生成的$G$和$B'$集合的对称有限子集。 $B$的定义双射到$B'$（约化它到$S \subset S'$的情况）。因此$B$的基数独立于$S$的选择；称为$G$两端的数。

(e) 使用(c)证明$G$两端的数等于0、1、2或$2^{k_0}$。

(f) 证明 $\mathbf{Z}$ 的末端数为 2，$\mathbf{Z}^n$ ($n \geq 2$) 的末端为 1。