习题 38, § 7

令$X$为有限集合，$F(X)$为在$X$和$S = X \cup X^{-1}$上构造的自由群。

(a) 设$S_n$为乘积$s_1 \ldots s_m, s_i \in S, m \leq n$中的集合。证明 $F(X) - S_n$ 包含的每个连接的 $S$ 分量 (cf. 习题 18) 是形式 $s_1 \ldots s_{n+1}$ 的唯一一个元素，其中 $s_i \in S$ 和$s_i s_{i+1} \neq e$ $1 \leq i \leq n$。

(b) 从 (a) $F(X)$ (cf. 习题 37) 的端集合 $B$ 双射推导到元素的无限序列 $(s_1, \ldots, s_n, \ldots)$ 的集合 $S$使得$s_i s_{i+1} \neq e$对于所有$i$。特别地，如果$\mathrm{Card}(X) \geq 2$，则$F(X)$的末端的数等于$2^{k_0}$。