习题 4, § 7

令$X$为集合且$c$元素而非属于至$X$。我们写$Y = X \cup \{c\}$。令$M$为岩浆，其底层集合$Mo(Y)$和由$(u, v) \mapsto cuv$给出的合成的律。令$L$为$X$生成的$M$的子岩浆，令$\varepsilon$为从$Y$到$\mathbf{Z}$的映射，等于$X$上的$-1$和$c$上的$1$。

(a) 证明$L$是字$w = y_1 \ldots y_p$、$y_i \in Y$、满足以下两个条件的$M$由……组成的子集： （一）$\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_p) = -1$ (ii) $\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_i) \geqslant 0$ 为 $1 \leqslant i \leqslant p - 1$。 证明$L - X$的每个元素都可以用$u, v \in L$唯一地写成形式$cuv$。

（元素 $w$ 满足 (i) 和 (ii) 形式 $M$ 包含 $X$ 的子岩浆 $L'$。如果 $w = y_1 \ldots y_p$ 属于到 $L'$，令$k$是最小整数使得$\varepsilon(y_1) + \cdots + \varepsilon(y_k) = 0$；证明$y_1 = c$和元素$u = y_2 \ldots y_k$和$v = y_{k+1} \ldots y_p$属于到$L'$，然后$w = cuv$，从而； 归纳于 $p$ 关系 $w \in L$。然后证明关系 $u', v' \in L$ 和 $w = cu'v'$ 蕴含 $u' = u, v' = v$。）

(b) 将$X$的单射转化为$L$，扩展到$M(X)$的同构转化为$L$。