Bourbaki

习题 5, § 7

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代数, I, 160

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 XX 为集合，其中元素为 1。如果nn是整数⩾1\geqslant 1，则令unu_n表示长度nn的M(X)M(X)中元素的数。

(a) 对于每个集合 YY，证明

Card⁡(Mn(Y))=un⋅Card⁡(Y)n. \operatorname{Card}(M_n(Y)) = u_n \cdot \operatorname{Card}(Y)^n.
（使用习题 3。）

(b) 建立关系

un=∑p=1n−1upun−pfor n⩾2. u_n = \sum_{p=1}^{n-1} u_p u_{n-p} \quad \text{for } n \geqslant 2.

(c) *令 f(T)f(T) 为正式的幂级数 ∑n=1∞unTn\sum_{n=1}^{\infty} u_n T^n。表明

f(T)=T+f(T)2. f(T) = T + f(T)^2.
推算公式
f(T)=12(1−(1−4T)1/2),un=2n−1n!1⋅3⋅5…(2n−3)for n⩾2.∗ f(T) = \frac{1}{2}(1 - (1 - 4T)^{1/2}), \qquad u_n = \frac{2^{n-1}}{n!} 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-3) \quad \text{for } n \geqslant 2.*
获取集合理论、III, § 5的最后结果利用习题11。

解答

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