习题 6, § 7

设$X$为集合。

(a) 令$N$为$M(X)$和$Y = N - (N.N)$的次岩浆。 单射$Y \to N$扩展至同态$u : M(Y) \to N$。证明 $u$ 是同构。 （在其他字中，自由岩浆的每一个子岩浆都是自由的。）

(b) 若$x \in M(X)$，令$M_x$表示由$x$产生的$M(X)$的子岩浆；通过(a)，$M_x$被识别为$x$上构造的自由岩浆。证明，如果 $x, y \in M(X)$，则 $M_x \subset M_y$ 或 $M_y \subset M_x$ 或 $M_x \cap M_y = \varnothing$。 （如果$M_x \cap M_y \neq \varnothing$，则令$z$为最小值长度的$M_x \cap M_y$的元素；表明$z = x$或$z = y$。）