习题 7, § 7

令$M_x$为在集合$\{x\}$上与一个元素构造的自由岩浆。

(a) 对于所有$y \in M_x$，证明存在$M_x$的唯一内同态$f_y$使得$f_y(x) = y$；它是$M_x$的同构到由$y$（cf.习题6）产生的子岩浆$M_y$上。

(b) 如果$y, z \in M_x$，我们写$y \circ z = f_y(z)$。证明合成$(y, z) \mapsto y \circ z$的律使$M_x$成为单位元素$x$的幺半群，与$M_x$的自同态的幺半群$\mathrm{End}(M_x)$同构的。

(c) 令 $N$ 为与 $M_x$ 不同的 $M_x$ 单一源岩浆的集合。如果$M_y$是$N$的极大元素，则$M_x$的元素$y$被称为原语。证明 $xx, x(x(xx))$ 是原始的，而 $x, (xx)(xx)$ 不是。

(d) 设$P$为$M_x$的原语元素的集合。证明，如果 $y, z \in P, y \neq z$，则$M_y \cap M_z = \varnothing$（使用习题 6）。

(e) 令 $\mathrm{Mo}(P)$ 为在 $P$ 上构造的自由幺半群。如果$M_x$被赋予(b)中定义的幺半群结构，则单射$P \to M_x$可以扩展到同态$p : \mathrm{Mo}(P) \to M_x$。证明 $p$ 是同构。

（如果$z \in M_x$，则通过$l(z)$上的归纳显示$z \in \mathrm{Im}(p)$。另一方面，如果$y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_m \in P$使得$p(y_1 \ldots y_n) = p(z_1 \ldots z_m)$，则$M_{y_1} \cap M_{z_1} \neq \varnothing$、从而、$y_1 = z_1$和$f_{y_1}(p(y_2 \ldots y_n)) = f_{y_1}(p(z_2 \ldots z_m))$； 从而$p(y_2 \ldots y_n) = p(z_2 \ldots z_m)$，因此$y_1 \ldots y_n = z_1 \ldots z_m$与归纳对$\sup(n, m)$进行争论。）