习题 2, § 8

设$A$为环。 (a) 与$a \in A$左位似$x \mapsto ax$关联的映射是$A$的同构到$A$的加法群自同态的环，与右同位交换。 (b) 令$M$为$A$的四个元素中的序列$(a, b, c, d)$中的集合，其可以用表中的形式或矩阵$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$来表示。对于 M 的每个元素 (a\ b\\c\ d)，我们将 $A \times A$ 的映射 $(x, y) \mapsto (ax + by, cx + dy)$ 关联到其自身。证明双射是这样获得的 M 到交换律群 $A \times A$ 的自同态的环 B，对于所有 $r \in A$ 与运算 $(x, y) \mapsto (xr, yr)$ 交换。从此M被识别为两个矩阵中的环B.计算乘积。

(c) Show that the subset T of M consisting of the matrices of the form $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ is the subring of M which leaves stable the subgroup $A \times 0$ of $A \times A$.

映射 $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mapsto a$ 和 $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mapsto c$ 是 T 到 A 的同态；让$a$和$b$成为他们的核。如果 $A \neq \{0\}$ (cf. no. 9, 命题 6)，则证明 $a + b = T$、$ab = \{0\}$ 和 $ba = b \cap a$ 是 $\neq \{0\}$。

(d) 如果 $A = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$，T 不可交换，但 T 的可逆元的乘法群是可交换的。