习题 10, § 9

令$A$为其最大理想的交换环和$\mathscr{U}$交。

(a) 证明典范同态 $A^* \to (A/\mathscr{U})^*$ 是满射，并且它的核是 $1 + \mathscr{U}$。

(b) 假设$A$的最大理想集合$M$是有限的，$A^*$是有限的。推断 $A$ 是有限的（§ 8, no. 10 到 $A/\mathscr{U}$ 中的应用命题 8）。

(c) 推论素数数的集合是无限的（注 $\mathbf{Z}^* = \{1, -1\}$）。

(d) 假设对于每个最大理想 $m$，$A^*$ 是有限的，并且 $A/m$ 是有限的。是否可以推断 $A$ 是有限的，$A$ 是可数的？