习题 15, § 9

令 A 为非交换环，除子不为 0。如果 A 与域 K 的子环 B 同构的，使得 K 的每个元素都为形式 $x^{-1}y$，则称 A 承认左分式的域，其中$x \in B, y \in B$。

(a) 令A中的$A'$为元素$\neq 0$中的集合。为了使A承认左分式中的域，需要满足以下条件： (G) 对于所有$x \in A, x' \in A'$，存在$u \in A'$和$v \in A$使得$ux = vx'$。 (b) 反过来假设条件(G)成立。证明在$(x, x')$和$(y, y')$之间的集合$A \times A'$关系R中，其中指出“对于元素$\neq 0$的每个有序对$(u, v)$，使得$ux' = vy', ux = vy"$是等价关系。

令$(x, x'), (y, y')$为$A \times A'$、$\xi$和$\eta$各自的类（mod.R）中的两个元素。对于每个有序对$(u, u') \in A \times A'$使得$u'x = uy'$，证明$(uy, u'y')$的类（mod.R）仅依赖于类$\xi$和$\eta$；如果用$\xi \eta$表示，则合成的律定义在集合$K = (A \times A')/R$上。如果$K'$是K的元素的集合，不同于$A \times A'$、$K'$的元素$(0, x')$的类0，并且由上述律诱导出律，则为群。

对于每个元素 $x \in A$、元素 $(x'x, x')$，其中 $x'$ 穿过 A 的 $A'$、定义同构（仅包含乘法）到 K 的子环。用其识别 A在这个同构下的像，有序对$(x, x') \in A \times A'$的类（mod.R）被识别为元素${x'}^{-1}x$。

既然如此，如果$\xi = {x'}^{-1}x$是K的元素并且1表示$K'$的单位元，那么$\xi + 1$表示元素${x'}^{-1}(x + x')$，这不依赖于$\xi$的表示形式${x'}^{-1}x$。然后我们写$\xi + 0 = \xi$，对于$\eta \neq 0$，写$\xi + \eta = \eta(\eta^{-1}\xi + 1)$。证明加法和乘法在K上定义，确定在集合域结构，其中扩展环结构在A上；在其他字中，条件(G)足以让A承认左分式中的域。