习题 17, § 9

设$(\mathbf{K}_i)_{i \in I}$是域的一个家庭。对于$I$的每个子集$J$，令$e_J$表示乘积$K = \prod_{i \in I} \mathbf{K}_i$的元素，其第$i$分量在$i \in J$时等于0，在$i \in I - J$时等于1。

(a) 设$x = (x_i)$为$K$的元素和$J(x)$集合为元素$i \in I$，使得$x_i = 0$。证明$K$中存在可逆元$u$使得$x = ue_{J(x)} = e_{J(x)}u$。

(b) 令 $a$ 为$K$ 的左（或右）理想，与 $K$ 不同。令 $\mathscr{F}_a$ 为子集 $J$ $I$ 的集合，使得 $e_J \in a$。证明 $\mathscr{F}_a$ 具有以下性质： $(b_1)$ 如果$J \in \mathscr{F}_a$ 和$J' \supset J$，则$J' \in \mathscr{F}_a$。 $(b_2)$ 如果$J_1, J_2 \in \mathscr{F}_a$，则$J_1 \cap J_2 \in \mathscr{F}_a$。 $(b_3)$$\varnothing \notin \mathscr{F}_a$。 证明 $x \in a$ 等价于 $J(x) \in \mathscr{F}_a$（使用 (a)）。推断 $a$ 是双面理想。

(c) $I$、子集、集合，如果满足上述属性$(b_1), (b_2), (b_3)$，则称为过滤器（*cf.一般拓扑、I, § 6*）。证明映射$a \mapsto \mathscr{F}_a$是$K$理想集合与$K$不同的严格递增的双射到$I$过滤器的集合。 证明当且仅当$\mathscr{F}_a$是超滤器时，$a$才是最大的。

(d) 令$\mathscr{F}$为质数数的集合$P$上的非平凡超滤器，令$a$为环$K = \prod_{p \in P} \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$的理想相应的，并令$k = K/a$。表明 $k$ 是特征 0 的域。