习题 18, § 9

(a) 令$K$为域和$a, b$$K$的两个不可置换的元素。表明 (1) $a = (b - (a - 1)^{-1}b(a - 1))(a^{-1}ba - (a - 1)^{-1}b(a - 1))^{-1}$ （2）$a = (1 - (a - 1)^{-1}b^{-1}(a - 1)b)(a^{-1}b^{-1}ab - (a - 1)^{-1}b^{-1}(a - 1)b)^{-1}$。

(b) 令$K$为非交换域，并且$x$元素不是$K$的属于到中心。证明$K$是由共轭$axa^{-1}$和$x$的集合生成。 （令$K_1$为$x$的共轭的集合生成$K$的子域。由(a)推导出，若$K_1 \neq K$、$a \in K_1$、$b \notin K_1$，则必然为$ab = ba$。推导出矛盾考虑$K_1$中两个不可置换的元素$a, a'$和元素$b \notin K_1$并注意$ba \notin K_1$。）

(c) 从(b)推导出，如果$Z$是$K$的中心且$H$是$K$的子域，使得对于$K$中的所有$a \neq 0$来说$Z \subset H \subset K$和$aHa^{-1} = H$，则$H = Z$或$H = K$（嘉当-布劳尔-华定理）。

(d) Deduce from (a) that in a non-commutative field $K$, the set of commutators $aba^{-1}b^{-1}$ of elements $\neq 0$ in $K$ generates the field $K$.