习题 12, § 1

设G为模，E、F为两个子模，使得$E \subset F$。

(a) 如果 F 是 G 的直因子，则 $F/E$ 是 $G/E$ 的直因子。如果E也是F的直因子，则E是G的直因子。

(b) 如果E是G的直因子，则E是F的直因子。如果$F/E$也是$G/E$的直因子，则F是G中的直因子。

(c) 给出$\mathbf{Z}$-模$E = \mathbf{Z}^2$的两个子模 M、N的例，使得M和N是E的直因子，但$M + N$不是E的直因子。

(d) Let $p$ be a prime number and $U_p$ the submodule of the $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ consisting of the classes mod $\mathbf{Z}$ of rational numbers of the form $k/p^n$ ($k \in \mathbf{Z}$, $n \in \mathbf{N}$). 令E为乘积$\mathbf{Z}$-模$M \times N$，其中M和N均与$U_p$同构的，M和N被规范地标识为E的子模。 考虑 E 的自同态 $u : (x, y) \mapsto (x, y + px)$；证明 $u$ 是双射的。 如果$M' = u(M)$，证明M和$M'$都是E的直因子，但$M \cap M'$不是E的直因子（使用（b），证明$\mathbf{Z}$-模$U_p$除了自身和$\{0\}$之外没有直因子）。