习题 15, § 1

设c为无限基数。

(a) 令I为集合，并且R$\{a, b\}$关系位于元素和I之间，使得对于$\beta \in I$的所有$\alpha \in I$集合，其中$R \{ \alpha, \beta \}$成立，具有基数$\leq c$。证明I的子集存在良序集L和递增族$(I_\lambda)_{\lambda \in L}$，使得： (1) 存在$\lambda \in L$使得$I_\lambda = \varnothing$； (2) I是$I_\lambda$对于$\lambda \in L$的并； (3) 如果$\lambda \in L$使得$\mu < \lambda$的集合有最大元素$\lambda'$，$\mathrm{Card}(I_\lambda - I_{\lambda'}) \leq c$； (4)若$\lambda \in L$为$\mu < \lambda$的集合的最小上界，则$I_\lambda$为$\mu < \lambda$为$I_\mu$的并； (5) 若$\alpha \in I_\lambda$且$R \{ \alpha, \beta \}$成立，则$\beta \in I_\lambda$。 （注首先对于$\beta \in I$的所有$\alpha \in I$集合，存在整数n和I的元素的序列$(\gamma_j)_{1 \leq j \leq n}$，使得$\gamma_1 = \alpha$，$\gamma_n = \beta$和$R \{ \gamma_j, \gamma_{j+1} \}$ 代表 $1 \leq j \leq n-1$，有基数 $\leq c$。然后构造 $I_\lambda$ 超限归纳。）

(b) 令 E 为子模的族 $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ 的 A-模直和，使得 $\gamma(M_\alpha) \leq c$ 对于所有$\alpha \in I$ (cf. 习题 6)。设f为E的自同态。证明存在(a)的I满足性质(1)、(2)、(3)和(4)等的良序集L和递增族$(I_\lambda)_{\lambda \in L}$子集等

线性代数

此外，如果我们写$E_\lambda = \bigoplus_{\alpha \in I_\lambda} M_\alpha$，那么$f(E_\lambda) \subset E_\lambda$。 （将（a）应用于关系 R$\alpha, \beta$：“存在$x \in M_\alpha$，使得$M_\beta$中$f(x)$的分量是$\neq 0$”。）对于所有$\lambda \in L$，使得$\mu < \lambda$的集合有最大元素 $\lambda'$，写$F_\lambda = \bigoplus_{\alpha \in I_\lambda - I_{\lambda'}} M_\alpha$。证明 E 是 $F_\lambda$ 的直和（应用习题 14）。

(c) 根据(b)的假设和记号，进一步假设$f$为投影算子，并写出$P = f(E)$。设 $P_\lambda = P \cap E_\lambda$；证明如果$\lambda \in L$使得$\mu < \lambda$的集合有最大元素$\lambda'$，$P_{\lambda'}$是$P_\lambda$的直因子（cf.习题12），那么补子模 $P_\lambda$中$P_{\lambda'}$的$P'_\lambda$同构于$F_\lambda$的直因子以及$\gamma(P'_\lambda) \leq c$。证明 $P$ 是 $P'_\lambda$ 的直和（应用习题 14）。

(d) 从 (c) 推出，如果 A-模 E 是子模的$(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ 族的直和，使得 $\gamma(M_\alpha) \leq c$，则 E 的每个直因子 P 也是子模的$(N_\lambda)_{\lambda \in L}$ 族的直和，使得$\gamma(N_\lambda) \leq c$。