习题 4, § 1

令E，$F_1, F_2$为三个A-模，$f_1 : F_1 \to E, f_2 : F_2 \to E$为两个A-线性映射。 $F_1$和$F_2$相对于$f_1$和$f_2$的*纤维乘积*是乘积$F_1 \times F_2$由……组成的子模，有序对$(x_1, x_2)$使得$f_1(x_1) = f_2(x_2)$；用$F_1 \times_E F_2$表示。

(a) 对于A-线性映射$u_1 : G \to F_1, u_2 : G \to F_2$的每一个有序对使得$f_1 \circ u_1 = f_2 \circ u_2$，存在且仅有一个A-线性映射$u : G \to F_1 \times_E F_2$使得$p_1 \circ u = u_1, p_2 \circ u = u_2$，其中$p_1$和$p_2$表示限制 pr_1 和 pr_2 中的 $F_1 \times_E F_2$ 投影。

(b) 令$E', F'_1, F'_2$为三个A-模、$f'_1 : F'_1 \to E', f'_2 : F'_2 \to E'$A-线性映射和$F'_1 \times_{E'} F'_2$相对于这些映射的纤维乘积。对于A-线性映射$v_1 : F_1 \to F'_1, v_2 : F_2 \to F'_2, w : E \to E'$的每个系统使得$f'_1 \circ v_1 = w \circ f_1, f'_2 \circ v_2 = w \circ f_2$，让$v$是$F_1 \times_E F_2$的A-线性映射到$F'_1 \times_{E'} F'_2$相应的到两个线性映射$v_1 \circ p_1$并且$v_2 \circ p_2$。证明如果 $v_1$ 和 $v_2$ 是单射的，则 $v$ 也是单射的；给出例，其中 $v_1$ 和 $v_2$ 是满射，但 $v$ 不是满射（取 $E' = \{0\}$）。如果 $w$ 是单射且 $v_1$ 和 $v_2$ 是满射，则证明 $v$ 是满射。