习题 12, § 10

令 E 为域 K 上的维数 $\geqslant 1$ 的右向量空间。令 $F(E)$ 表示自同构 $u$ 的 $\mathbf{GL}(E)$ 由……组成的法线子群，使得核为$1_E - u$ 等于有限余维（因此，如果 E 是有限维，则为 $F(E) = \mathbf{GL}(E)$）。令 $\mathbf{SL}(E)$ 表示由所有横流产生的 $\mathbf{GL}(E)$ 的法线子群 (习题 11)；它包含在$F(E)$中。

(a) 如果$\dim E \geqslant 2$，表明对于E的非零向量$x, y$的每个有序对，都存在一个横断面或乘积两个横断面，其中映射$x$到$y$（在其他字 $\mathbf{SL}(E)$ 在 $E - \{0\}$ 上传递操作）。

(b) 设 V，W 为 E、$\dot{x}_0 = x_0 + V$ 类的 2 个超平面 mod。 V 与 V 和 $\dot{y}_0 = y_0 + W$ 类 mod 不同。 W 与 W 不同。证明如果 $\dim E \geqslant 2$，则存在一个横断面或乘积两个横断面，其中映射 V 到 W，$\dot{x}_0$ 到 $\dot{y}_0$（首先考虑 V 和 W 不同的情况）。

(c) 如果$\dim E \geqslant 2$，则表明与恒等式不同的任意两个平移是群$F(E)$中的共轭。

(d) 若$\dim E \geqslant 3$，则证明群$\mathbf{SL}(E)$中任何两个与恒等不同的横传都是共轭（约化借助(b)来说明两个横传的超平面相同的情况，则使用(a)）。

(e) 假设暗淡 E = 2。对于 $\mathbf{SL}(E)$ 内的任意两个横断面为共轭，由 K* 的元素的平方生成的 K* 的子群 Q 与 K* 相同是充分必要的。 （如果 u 是与恒等式不同的平移，则 E 的向量在 u 和 $b = u(a) - a$ 下不是不变的，表明对于 $\mathbf{SL}(E)$、$u'(a) - a = a\lambda + b\mu$ 中的每个 $u'$ 共轭到 u 的平移，以及 $\mu = 0$ 或 $\mu \in Q$；用于此用途事实上，在群 G 中，每个乘积 $sts^{-1}t$ 都是平方的乘积。）

(f) 假设暗淡 E $\geqslant 2$。对于两个扩张$u, u'$，存在一个$v \in \mathbf{SL}(E)$使得$u' = vuv^{-1}$，u的类（习题11）和$u'$相同是必要且充分的（使用（b））。推断如果膨胀的类包含在K*的换位子群中，则该膨胀属于到群$\mathbf{SL}(E)$（观察$(vuv^{-1})u^{-1} = v(uv^{-1}u^{-1})$）。