习题 2, § 10

(a) 令$X$为平方矩阵超过环$\mathbf{A}$，可写为矩阵($1 \leq i \leq p,\ 1 \leq j \leq p$)的上三角矩阵$(X_{ij})$。证明如果方阵 $X_{ii}$ ($1 \leq i \leq p$) 中的每一个都是可逆的，$X$ 和 $X^{-1}$ 也可以写成上三角矩阵 $(Y_{ij})$ ($1 \leq i \leq p,\ 1 \leq j \leq p$) 相应的到索引的相同划分集合。当$\mathbf{A}$为域时，证明条件足以使$X$可逆也是必要的。

(b) 给出环$\mathbf{A}$和矩阵$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}$（与$a \in \mathbf{A},\ b \in \mathbf{A}$）的例，它是可逆的，$a$或$b$在$\mathbf{A}$中是可逆的，其逆$\begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}$是这样$b' \neq 0$和$c' \neq 0$（将$\mathbf{A}$变为无限维向量空间的自同态环）。