习题 4, § 10

设$\mathbf{A}$为环，$\mathbf{C}$是矩阵$\mathbf{M}_n(\mathbf{A})$的中心，$\mathbf{B}$环，$\Delta$由元素生成的$\mathbf{A}$的加法子群 $\alpha \in \mathbf{A},\ \beta \in \mathbf{A}$为$\alpha \beta - \beta \alpha$，$\mathbf{D}$为$X \in \mathbf{B},\ Y \in \mathbf{B}$由矩阵$XY - YX$生成$\mathbf{B}$的加法子群； $\Delta$ 和 $\mathbf{D}$ 是 $\mathbf{C}$ 模块。对于每个矩阵$X = (\xi_{ij}) \in \mathbf{B}$，令$\theta(X)$为$\mathbf{A}/\Delta$的元素$\sum_{i=1}^n \bar{\xi}_{ij}$，其中，对于所有$\alpha \in \mathbf{A}$，$\bar{\alpha}$表示$\alpha$模的类。 $\Delta$。证明$\theta$是$\mathbf{B}$的满同态到$\mathbf{A}/\Delta$，其核等于$\mathbf{D}$，因此$\mathbf{B}/\mathbf{D}$作为$\mathbf{C}$模同构于$\mathbf{A}/\Delta$。 （请注意，对于 $\alpha \in \mathbf{A}$ 和 $i \neq j$，$\mathbf{D}$ 包含矩阵 $\alpha E_{ij}$ 和矩阵 $\alpha(E_{ii} - E_{jj})$。）