习题 15, § 2

如果$A$-模块同态$u: E \to F$是单射的，并且对于$F$的每个子模$P \neq \{0\}$，$u^{-1}(P) \neq \{0\}$，则称为“本质”；只要这个条件适用于$F$的每个*单生*子模$P \neq \{0\}$就足够了。如果$E$是$F$的子模，并且典范嵌入$E \to F$是必需的，则$F$被称为$E$的*必需的扩张*。

(a) 设$u: E \to F$、$v: F \to G$为$A$模的两个$A$同态。如果$u$和$v$是必需的，那么$v \circ u$也是必需的。相反，如果 $v \circ u$ 是必要的且 $v$ 是单射的，则 $u$ 和 $v$ 是必要的。

(b) 令$E$为$A$模块$F$的子模，令$(F_\lambda)_{\lambda \in L}$为$F$包含$E$的子模族，其并为$F$。证明如果每个$F_\lambda$ 都是$E$ 的必要扩张，那么$F$ 也是必要的。

(c) 让 $(u_\lambda)_{\lambda \in L}$ 成为一个由同态 $u_\lambda: E_\lambda \to F_\lambda$ 组成的家庭。表明同态 $\bigoplus_{\lambda \in L} u_\lambda: \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda \to \bigoplus_{\lambda \in L} F_\lambda$ 是必不可少的。 （当$L$有两个元素时先证明，然后使用$(b)$。）

(d) $\mathbf{Z}$-模块$\mathbf{Q}$是$\mathbf{Z}$的必需扩张，但乘积$\mathbf{Q}^{\mathbf{N}}$不是$\mathbf{Z}^{\mathbf{N}}$的必需扩张。

(e) 设$E$为模$F$中的子模。证明存在子模

F 的 Q 使得 Q ∩ E = {0} 并且限制到典范同态 F → F/Q 的 E 是必要的。