习题 16, § 2

如果 E ≠ F 并且 E 不是不同于 E 的 F 的两个子模的交，则 A-模 F 的子模 E 被称为关于 F（或在 F 中）不可约。

(a) 要使 A-模 F 成为其每个子模 ≠ {0} 的本质扩张，{0} 相对于 F 是不可约的是充分必要的。

(b) 令 (E_λ)_{λ ∈ L} 为 A-模 F 的子模族。如果每个 F_λ 在 F 中不可约，则 (E_λ)_{λ ∈ L} 被称为 F 中 {0} 的约化不可约分解，如果交 E_λ 约化为 0，并且如果 μ ≠ λ 时，E_μ 的 E_λ 包含交都不存在。在这种情况下，证明 F 的典范同态进入 $\bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ 是必要的（如果 $E'_\lambda = \bigcap_{\mu \neq \lambda} E_\mu$，则观察 F/E_λ 中 E'_λ 的像 F'_λ 不为零，并且 $\bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ 包含 $\bigoplus_{\lambda \in L} F'_\lambda$ 中的 F 像；然后应用习题 15(c))。相反，如果 (E_λ)_{λ ∈ L} 是 F 中不可约的 F 子模族，并且典范同态 F → $\bigoplus_{\lambda \in L} (F/E_\lambda)$ 是必要的，则族 (E_λ) 是 F 中 {0} 的约化不可约分解。