习题 17, § 2

(a) 令 M、N、M'、N' 为模 E 中的四个子模，使得 M ∩ N = M' ∩ N' = P。证明

推断如果 M 在 E 中不可约，则必然 P = M' ∩ N 或 P = N' ∩ N。

(b) 令 (N_i)_{1 ≤ i ≤ n} 为 E 的子模有限族，在 E 中不可约，且 M 为交。证明如果 (P_j)_{1 ≤ j ≤ m} 是 E 的子模的有限族，使得 M = $\bigcap_j P_j$，则对于每个指标 i，使得 1 ≤ i ≤ n 存在指标 φ(i)，使得 1 ≤ φ(i) ≤ m 并且，如果我们写 $N'_i = \bigcap_{k \neq i} N_k$，则 M = P_{φ(i)} ∩ N'_i（使用（a））。推论如果指标的P_k中的P_j包含交都不存在≠j，则m≤n（利用上述结果，通过合适的P_j依次替换N_i）。 结论 E 中 M 的两个约简不可约分解，其中之一是有限的，必然具有与项相同的数 (cf. 习题 23)。