习题 20, § 2

(a) 设 A 为环，承认左分式 K 中的域 (I, § 9，习题 15)。证明 K（被视为左A-模）是 $A_s$ 的单射包络。 （应用习题 18（d）的标准（α）和习题 11（a）的标准（δ），注意如果$f : a \to K$是A的左理想$a$到K的A-线性映射，元素$x^{-1} f(x)$对于$x \in a, x \neq 0$（取逆） K) 不依赖于$x \in a$。）

(b) 令$U_p$为形式$k/p^n$的有理数的典范像的$\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$由……组成的子$\mathbf{Z}$模，其中$p$是给定素数数、$k \in \mathbf{Z}$且$n \in \mathbf{N}$（II, § 1、习题12(d)）。证明 $U_p$ 是与 $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$ 同构的每个 $\mathbf{Z}$ 模块 $p^{-n}\mathbf{Z}/\mathbf{Z}$ 的单射包络。证明存在$U_p$ 的自同构与恒等式自同构不同，留下子模 $p^{-n}\mathbf{Z}/\mathbf{Z}$ 的不变式元素。