习题 21, § 2

(a) 令$(E_j)_{j \in J}$为A-模的有限族，对于所有$j \in J$，令$I_j$为$E_j$的单射包络；证明$\bigoplus_{j \in J} I_j$是$\bigoplus_{j \in J} E_j$的单射包络。

(b) 如果A-模 M 与$\{0\}$ 不同，并且它不是与$\{0\}$ 不同的两个子模中的直和，则称它是不可分解的。证明如果 I 是单射A-模，则以下性质是等价的： $(\alpha)$ $\{0\}$ 是 I 中的不可约子模。 $(\beta)$ I 不可分解。 $(\gamma)$ I 是其每个子模 $\neq 0$ 的单射包络。 （使用 (a) 和习题 18 (e)。） $(\delta)$ I 与单射包络 $I(A/q)$ 同构的，其中 q 是 A 的不可约左理想。

此外，当这种情况发生时，对于I中的所有$x \neq 0$，$\operatorname{Ann}(x)$是A的不可约左理想，并且I与$I(A/\operatorname{Ann}(x))$同构的。

推出，要使 A-模 E 的内射包络不可分解，$\{0\}$ 是 E 的不可约子模是充分必要的。

(c) 给出不可分解的$\mathbf{Z}$-模块 E 的例，使得其单射包络$I(E)$可分解（cf.VII, § 3，习题5）。

(d) 令E为A-模，IE的单射包络，以及I的$I = \bigoplus_{\lambda \in L} I_\lambda$分解作为不可分解单射子模有限族的直和；对于所有 $\lambda \in L$ 让 $J_\lambda = \bigoplus_{\mu \neq \lambda} I_\mu$ 并让 $N_\lambda = J_\lambda \cap E$。证明 $(N_\lambda)_{\lambda \in L}$ 是 E 中 $\{0\}$ 的约化不可约分解 (习题 16 (b))，并且 $I_\lambda$ 是 $E/N_\lambda$ 的单射包络。反之，E 中$\{0\}$ 的每个约化不可约分解都可以通过上述过程唯一地获得同构（使用习题 16 (b)）。