习题 23, § 2

设 M 为子模的A-模、直和（有限或其他）$(M_\lambda)_{\lambda \in L}$，使得对于所有$\lambda \in L$$\operatorname{End}(M_\lambda)$形式的不可逆元素，这是环的两侧理想（这意味着$M_\lambda$是不可分解）。

(a) 令$f, g$为$M$的两个自同态，使得$f + g = 1_M$。证明对于$L$中不同指标的每个有限序列$(\lambda_k)_{1 \leq k \leq s}$，都存在$M$的子模$N_k$$(1 \leq k \leq s)$族，使得对于$k$其中一个自同态$f, g$限制为$M_{\lambda_k}$是这个子模到$N_k$的同构，$M$是$N_k$$(1 \leq k \leq s)$的直和，以及$\lambda$的$M_\lambda$与$\lambda_k$不同。 （约化对应于$s = 1$；如果$\pi_\lambda$是$M$的规范投影到$M_\lambda$相应的到分解，如$M_\lambda$和$\bigoplus_{\mu \neq \lambda} M_\mu$的直和， 注 $\pi_\lambda \circ f$ 或 $\pi_\lambda \circ g$，限制为 $M_\lambda$，是 $M_\lambda$ 的自同构。）

(b) 令$f$为$M$的幂等自同态。证明至少存在一个指标 $\lambda \in L$，使得$f$到$M_\lambda$的限制是$M_\lambda$到$f(M_\lambda)$的同构；而且$f(M_\lambda)$是$M$中的直因子。 (如果$g = 1_M - f$、注存在指标$(\lambda_k)_{1 \leq k \leq s}$的有限序列使得$\operatorname{Ker}(g)$的交和$M_{\lambda_k}$的直和为$\neq \{0\}$，则使用(a)。)

(c) 从 (b) 推出$M$ 的每个不可分解直因子都同构于$M_\lambda$ 之一。

(d) 令$(N_\kappa)_{\kappa \in K}$为$M$的不可分解子模族，其中$M$为直和；因此，根据 (c)，每个 $N_\kappa$ 都与 $M_\lambda$ 同构，反之亦然。 令$T$为不可分解的$M$的子模（在同构的关系下）的类的集合，使得$M_\lambda$（或$N_\kappa$）属于到这些类之一。 对于所有$t \in T$，令$R(t)$（或$S(t)$）为$\lambda \in L$（或$\kappa \in K$）的集合，使得$M_\lambda \in t$（或$N_\kappa \in t$）。 证明，对于所有 $t \in T$，$\operatorname{Card}(R(t)) = \operatorname{Card}(S(t))$。 （在（a）的记号中，令$J(\kappa)$为集合$\lambda \in L$，使得$\pi_\lambda$到$N_\kappa$的限制是$N_\kappa$到$M_\lambda$的同构；证明$J(\kappa)$是有限的，并且当$\kappa$穿过$S(t)$时，$J(\kappa)$覆盖$R(t)$。 当$R(t)$无穷大时，推导出$\operatorname{Card}(S(t)) \leq \operatorname{Card}(R(t))$。 当$R(t)$有限时，借助(a)证明$M$是$\lambda \notin R(t)$的$M_\lambda$的直和，并且基数$(N_\kappa)_{\kappa \in S(t)}$的子族等于$R(t)$的子族。）

(e) 由(d)和习题22和21(d)推出，如果$(E_\lambda)_{\lambda \in L}$和$(E'_\kappa)_{\kappa \in K}$是模$F$中$\{0\}$的两个约化不可约分解，则$L$和$K$等价。