Bourbaki

习题 4, § 2

标签 05O4，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 05O4]。

代数, II, 387

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

(a) 令 E、E' 为 E 的两个A-模、N 子模和 E' 的 N' 子模，使得 E 是射影的，并且 E/N 和 E'/N' 同构的。证明存在正合序列

0⟶N→uE⊕N′→vE′⟶0. 0 \longrightarrow N \xrightarrow{u} E \oplus N' \xrightarrow{v} E' \longrightarrow 0.

（观察到存在同态 f:E→E′f : E \to E' 使得 f(N)⊂N′f(N) \subset N'，它给出当经过到商同构 E/N→E′/N′E/N \to E'/N'；定义 u 和 v 的方式与用于 § 1, no. 7 的正合序列 (29) 的方式类似。）

(b) 从 (a) 推导出，如果 E' 是射影的，则 E⊕N′E \oplus N' 和 E′⊕NE' \oplus N 同构的。

(c) 令 0→Em→Em−1→…→E1→E0→00 \to E_m \to E_{m-1} \to \ldots \to E_1 \to E_0 \to 0 为 A-模的正合序列，使得 E0,E1,…,Em−2E_0, E_1, \ldots, E_{m-2} 是射影的。证明 A-模 ⨁h≥0Em−2h\bigoplus_{h \geq 0} E_{m-2h} 和 ⨁h≥0Em−2h+1\bigoplus_{h \geq 0} E_{m-2h+1} 同构的（约定 Ei={0}E_i = \{0\} i<0i < 0）。

解答

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