习题 6, § 2

(a) 如果 E 是 A-模，则 E 的每个单射自同态 u 都不是环 $\operatorname{End}_A(E)$ 中零的左除子。相反，如果对于 E 的每个子 A 模块 $F \neq \{0\}$ 都存在 E 的自同态 $v \neq 0$，使得$v(E) \subset F$、元素（不是$\operatorname{End}_A(E)$中零的左除子）是单射自同态。如果存在线性形式$x' \in E^*$和$x \in E$使得$\langle x, x' \rangle$在A中可逆，并且特别是如果E是自由的，则满足上述条件。

(b) $\mathbf{Z}$模$\mathbf{Q}$的每个自同态$\neq 0$都是双射的，尽管$\mathbf{Q}$上不存在线性形式$\neq 0$。

(c) 设$U_p$为§ 1、习题12(d)中定义的$\mathbf{Z}$模块。证明 $U_p$ 的自同态 $x \mapsto px$ 不是单射，也不是 $\operatorname{End}_{\mathbf{Z}}(U_p)$ 中零的左除子。