习题 19, § 7

令 E 为向量空间大于域 K。

(a) 证明 E 的每个映射 $f$ 可以与 E 的每个自同构置换，其值为形式 $x \mapsto \alpha x$，其中 $\alpha \in K$（首先证明对于所有 $x \in E$ 存在 $\rho(x) \in K$ 使得 $f(x) = \rho(x)x$，使用以下事实$f$ 与 E 的每自同构进行交换，而 $x$ 不变）。

(b) 设$g$为E中$E \times E$的映射，使得对于E的每个自同构$u$，对于E中的所有$x, y$，$g(u(x), u(y)) = u(g(x, y))$。证明存在K的两个元素$\alpha, \beta$，使得$g(x, y) = \alpha x + \beta y$在E 线性无关元素有序对 $(x, y)$ 集合；此外，K 中存在 $K \times K$ 的映射 $\phi$，使得所有 $x \in E$ 都有 $g(\lambda x, \mu x) = \phi(\lambda, \mu)x$（同样的方法）。如果进一步对 E 的每个自同态 $u$ 进行 $g(u(x), u(y)) = u(g(x, y))$，则对 E 中的所有 $x, y$ 进行 $g(x, y) = \alpha x + \beta y$。将 $E^n$ 的映射推广到 E 中。