习题 33, § 7

设$A$为整环。如果对于$A$中的所有$x \in E$和所有$\alpha \neq 0$，存在$y \in E$使得$\alpha y = x$，则$A$模$E$被称为“可整除”。

(a) 令$E, F$为两个$A$模块。证明如果 $E$ 可整除，则 $E \otimes_A F$ 也可整除。如果 $E$ 可整除且 $F$ 无扭转，则 $\operatorname{Hom}_A(E, F)$ 无扭转。如果$E$是挠元$A$模且$F$可整除，则$E \otimes_A F = \{0\}$。如果 $E$ 是挠元 $A$ 模数且 $F$ 无扭转，则$\operatorname{Hom}_A(E, F) = \{0\}$。

(b) 证明每个单射 $A$-模 ($§ 2$, 习题 11) 都是可整除的，反之，每个可整除的无扭转 $A$-模都是单射的（使用 $§ 2$, 习题 11 的准则 ($\delta$)）。