习题 35, § 7

(a) 令$K$为域，且$E$为$(K, K)$双模。假设$E$的维数作为左和$K$上的右向量空间，等于相同的有限数$n$。证明存在$n$ 元素 $E$ 的族$(e_i)$，对于$E$ 上的两个向量空间结构各为基。 （注，如果$(b_j)_{1 \leq j \leq m}$是$m < n$元素和$E$的一个家庭，则$E$上的两个向量空间结构各免费，$V$是左边的向量） 子空间和$W$由$(b_j)$生成的右向量子空间，$V + W \neq E$，或者$V \cap CW$和$W \cap CV$非空；在后一种情况下，如果$y \in V \cap CW, z \in W \cap CV$，$y + z$ 形式与$b_j$ $m + 1$ 元素的家庭，$E$ 两个向量空间结构各免费。）

(b) 设$F$为$E$的子双模，其两个$K$上的向量空间结构具有相同的维数$p < n$。 证明存在一个族$E$的元素的$(e_i)_{1 \leq i \leq n}$，对于它的每一个向量空间结构，它是$E$的基，并且对于它的两个向量空间中的每一个，$(e_i)_{1 \leq i \leq p}$是$F$的基结构（与方法相同）。

(c) 令$(b_j)_{1 \leq j \leq n-1}$为$n - 1$元素和$E$的一个家庭，对于$E$上的两个向量空间结构中的每一个来说都是免费的。令$V$（或$W$）为超平面，由$E$中的$(b_j)$视为左（或右）向量空间生成。

证明如果$V \subset W$（或$W \subset V$），则必然$V = W$（注，如果$a \notin W$，$\lambda \in K$的集合，使得$\lambda a \in W$是左理想）。