习题 1, § 8

令 K 为域、K 的 K' 子域以及 V K 上的非零右向量空间。

(a) 令V'为V上的K'结构。证明 K' 等于 $\mu \in K$ 的集合，这样，对于所有 $x \in V'$，$x\mu \in V'$。

(b) 令 $\Gamma'$ 为 K 的自同构的群，留下 K' 的不变量元素。证明如果不存在 K 的元素非属于到 K' 且在所有自同构 $\sigma \in \Gamma'$ 下不变，则不存在 V 的元素不属于到 V' 且在 V 的每个双射二态下不变（相对于 K 的自同构），使得 V' 的所有元素保持不变。

(c) Conversely, let E be a subset of V and G the group of bijective dimorphisms of V leaving invariant all the elements of E; for all $u \in G$, let $\sigma_u$ be the corresponding automorphism of K and let $\Gamma$ be the group of automorphisms of K the image of G under the homomorphism $u \mapsto \sigma_u$. 假设 G 包含没有 V 的自同构与恒等式自同构不同，并且不存在 V 的元素不属于到 E 并且在所有二态$u \in G$ 下保持不变。 证明如果K'是所有自同构$\sigma \in \Gamma$下K不变量的元素子域，则E是V上的K'-结构。 （首先证明 E 是 V 包含基 V 的加法子群；令 K'' 是元素 $\mu \in K$ 的集合，使得关系 $x \in E$ 蕴含$x\mu \in E$。 证明 K'' 的元素在所有 $\sigma \in \Gamma$ 下都是不变的，且 K'' 是 K 的子域；推断 E 是 V 上的 K'' 结构。）