习题 12, § 9

令$\mathbf{P}(V)$为有限维$n$在域$K$上的（左）射影空间。证明在$\mathbf{P}(V)$的射影超平面的集合上存在$n$维（右）射影空间结构超过$K$规范同构于$\mathbf{P}(V^*)$（$V^*$是对偶$V$）。如果$M$是$\mathbf{P}(V)$中维数$r < n$的线性变体，则在射影超平面包含$M$的集合上导出$(n - r - 1)$维射影空间结构。特别是如果 $M$ 是

维数$n - 2$，可以定义不同超平面包含M的四元组$(H_1, H_2, H_3, H_4)$的交比$\begin{bmatrix} H_1 & H_2 \\ H_4 & H_3 \end{bmatrix}$。证明如果 $D \subset \mathbf{P}(V)$ 是一条不与 M 相交的直线，且 $a_i$ 是 D 的交，且$H_i$ ($1 \leq i \leq 4$)，则