习题 18, § 9

令 $E = \mathbf{P}(V)$ 为域 $K$ 和 $u$ $E$ 的双射映射到自身的射影平面，当经过为 $V$ 的双射半线性映射 $v$ 到自身的商时，相对于自同构$\sigma$共$K$。

(a) 证明以下四个性质是等价的： ($\alpha$) 对于所有 $x \in E$、$x, u(x)$ 和 $u^2(x)$ 都位于一条直线上； ($\beta$)$E$包含点的每一行在$u$下不变； ($\gamma$) 通过$E$的每一个点，都会经过$u$下的线不变量； ($\delta$) 对于$E$的每一行$D$，三行$D, u(D)$和$u^2(D)$有公共的点。 （首先证明（$\alpha$）和（$\gamma$）等价；通过对偶性（习题12）推导出（$\beta$）和（$\delta$）等价；最后证明（$\gamma$）蕴含（$\beta$）并通过对偶性推导出（$\beta$）蕴含（$\gamma$）。）

(b) 假设 $u$ 具有 (a) 中所述的属性。证明如果$E$中存在$u$和包含下的线$D$不变量，则$u$下仅存在单个点不变量，则$u$由$V$的平移$v$产生，当经过商 ($§ 10$, 习题 11)。 （证明$u$包含$a$下的每条线不变；通过考虑不是经过到$a$的线，证明存在一条$D_0$经过通过$a$和包含至少两条线点在$u$下不变；结论，$D_0$的所有点在$u$下必然不变。）

(c) 假设 $u$ 具有 (a) 中所述的属性。 Show that if there exists in $E$ a line $E$ invariant under $u$ and containing only two points invariant under $u$, $u$ arises from a dilatation $v$ of $V$ when passing to the quotients ($§ 10$, Exercise 11). (If $a, b$ are the two points of $D$ invariant under $u$, show that every line invariant under $u$ passes through $a$ or through $b$; then note that there exist at least two other points $c, d$ distinct from $a, b$ and invariant under $u$ and therefore the line $D_{cd}$ passes through $a$ or $b$; conclude by proving that all the points of $D_{cd}$ are invariant under $u$.)

(d) 假设$u$具有(a)中所述的属性，并且$E$在$u$包含下不变量的每一行在$u$下至少有三个不同的点不变量；则$E$中存在射影基 (习题 10)，其中每个点在$u$下不变； 结论存在$V$的基$(e_i)_{1 \leq i \leq 3}$，使得$u$由$V$的半线性映射$v$到其自身产生，使得$v(e_i) = e_i$对于$1 \leq i \leq 3$，当经过为商时。 $u$下的$E$不变量的点的集合则为射影平面$\mathbf{P}(V_0)$，其中$V_0$是$\sigma$的不变量域$K_0$上的向量空间，由下式生成$e_1, e_2, e_3$。

(e) 假设此后$u$满足(a)和(d)的条件，并且$u$和$u^2$都不是恒等式。证明存在 $\gamma \in K$ 使得 $\gamma^\sigma = \gamma$ 且

(1)

对于所有$\xi \in K$（使用（a）的条件（$\alpha$）以及$\zeta \in K$的存在使得$\zeta^\sigma \neq \zeta$）。证明 $\gamma \neq -1$ 并且对于所有 $\xi \in K$ 使得 $\xi^\sigma \neq \xi$，

(2)

（应用 (1) 替换 $\xi$ by $\xi^2$）； 扩展 (2) 到所有$\xi \in K$，注意$\xi = \eta - \zeta$，其中$\eta^\sigma \neq \eta$和$\xi^\sigma \neq \zeta$。 结论$\gamma \neq 1$，然后由(1)和(2)推出

(3)

对于所有 $\xi \in K$ 以及 $K$ 的 $\gamma + \gamma^{-1}$ 属于到中心。获得逆命题。

将$\gamma$不是属于的例赋予$K$的中心，但$\gamma + \gamma^{-1}$在这个中心中。