习题 7, § 9

设 E（分别为 E'）为域 K 上有限维 $n \geq 2$ 的仿射空间，且至少有 3 个元素（分别为域 K'），并令 u 为 E 到 E' 映射中任意三个点的单射映射 E 中的一条直线到一条直线上的三个点，使得 E' 中 $u(E)$ 生成的仿射线性簇等于 E'。

(a) 证明 u 映射从 E 的仿射独立点到仿射独立点的系统的每个系统（使用习题 5）。

(b) 设D_1、D_2为E中的两条平行线，D'_1、D'_2分别为E'包含的线$u(D_1)$和$u(D_2)$。证明D'_1和D'_2在同一平面；如果进一步 u 是满射，则证明 D'_1 和 D'_2 平行（反之，证明 E 中有 3 个点不在一条直线上，而 u 下的像位于一条直线上）（cf. 习题 17）。

(c) 假设此后，如果 D_1 和 D_2 是 E 中的平行线，则 E' 包含分别与 $u(D_1)$ 和 $u(D_2)$ 的线平行。证明如果取 E 中的原点 a 和 E' 中的原点 $a' = u(a)$，则存在 K 的同构 $\sigma$ 到 K' 的子域 K_1 上，这样，如果 E 被视为 K 上的向量空间且 E' 被视为 K_1 上的向量空间，则 u 是单射半线性映射（相对于E 的 $\sigma$) 转化为 E' (§ 1, no. 13)。 （首先考虑$n = 2$的情况；给定E的基$(e_1, e_2)$，表明对于K的任意两个元素$\alpha, \beta$，E的点$(\alpha + \beta)e_1$和$(\alpha\beta)e_1$可以从点0，$e_1, e_2, \alpha e_1, \beta e_1$开始构造构造与给定线和给定线的交的平行线；推论出$u(\lambda e_1) = \lambda^\sigma u(e_1)$，其中$\sigma$是K的同构到K'的子域，然后通过考虑连接点$\lambda e_1$和$\lambda e_2$的线来显示$u(\lambda e_2) = \lambda^\sigma u(e_2)$。最后从这里传递到 n 是任意的情况，通过 n 上的归纳进行论证。）如果 u 是双射的，则证明 $K_1 = K'$。

(d) 扩展 (c) 的结果，其中 K 为域，其中 2 元素还假设 u 映射每系统的 E 的仿射独立点到系统的仿射独立点 E'。