习题 1, § 10

如果 A 和 B 是 A 到 B 的 K-代数和 $\alpha$ 和 $\beta$ 两个 K 同态，则 A 到 B 的 $(\alpha, \beta)$ 推导是 A 到 B 的 K-线性映射 $d$ 满足关系

在其他字、推导中，定义 1 (no. 2) 中，$A = A' = A''$、$B = B' = B''$、$d = d' = d''$、$\mu : A \times A \to A$ 是乘法，$\lambda_1 : B \times A \to B$ 是 K 双线性映射 $(z, x) \mapsto z\alpha(x)$和 $\lambda_2 : A \times B \to B$ K 双线性映射 $(x, z) \mapsto \beta(x)z$。

假设从此以后 A 和 B 是 交换域 和 $\alpha \neq \beta$。证明存在元素 $b \in B$，使得 $d$ 是 $(\alpha, \beta)$ 导数 $x \mapsto b\alpha(x) - \beta(x)b$。 （可以假设$d \neq 0$。首先证明$d$的核 N是$x \in A$的集合，使得$\alpha(x) = \beta(x)$，然后证明对于$x \notin N$元素，$b = d(x)/(\alpha(x) - \beta(x))$独立于选择 $x$。）