习题 3, § 10

令 K 为域，可交换或其他，E 左向量空间 $K_s^{(\mathbf{N})}$，并令 $(e_n)_{n \in \mathbf{N}}$ 为该空间的典范基。另一方面，令 $\sigma$ 为 K 的自同态，并且 $d$ 为 K 的 $(\sigma, 1_K)$ 导数（习题 1），在其他中，字为 K 的映射加法，使得

E 的元素是乘积 $\alpha_n e_n$ 线性组合，并且乘法在 E 上定义（$E \times E$ 的$\mathbf{Z}$-双线性映射到 E 中）由条件定义

因此，（一般来说是不可交换的）环结构在带有$e_0$的E上被定义为单位元（用K的元素1来标识）。如果我们写$X = e_1$，那么$e_n = X^n$就代表$n \geq 1$，这样E的元素可以写成 乘法规则 这个环用$K[X; \sigma, d]$表示，称为X中系数为K的非交换多项式的*环，相对于$\sigma$和$d$*。对于 E 的非零元素 $z = \sum_j \alpha_j X^j$，*次数* $\deg(z)$ 为最大的整数 $j$，使得 $\alpha_j \neq 0$。

(a) 证明如果 $u, v$ 是 E 的两个元素 $\neq 0$，则：

此外，如果$\deg(u) \geq \deg(v)$，则存在E的两个元素$w, r$，使得$u = wv + r$和$r = 0$或$\deg(r) < \deg(v)$（E中的“欧几里得除法”）。

(b) 相反地，令R为环，使得在(a)的$\mathbf{N}$、满足条件中存在R的集合$R'$、元素$\neq 0$的映射、$u \mapsto \deg(u)$。证明集合 K 由……组成为 0 和非零元素 $u \in R$，使得 $\deg(u) = 0$ 是（不一定可交换）域。如果$K \neq R$和$x$是R的元素，其中整数$\deg(x) > 0$可能是最小的，则证明R的每个元素可以唯一地写在形式$\sum_i \alpha_i x^i$和$\alpha_i \in K$中。 （要看到 R 的每个元素都属于这个形式，请通过考虑元素 $u \in R$ 来论证 reductio adabsurdum 不属于这个形式并且 $\deg(u)$ 是最小的可能的。）证明存在自同态 K 的 $\sigma$ 和 K 的 $(\sigma, l_K)$ 推导$d$，使得 $x \alpha = \sigma(\alpha)x + d\alpha$ 对于所有 $\alpha \in K$。推论R与域或环$K[X; \sigma, d]$同构的。