习题 16, § 11

令 E 为维数 $n$ 中的自由A-模。 $x \in \bigwedge(E)$和$y \in \bigwedge(E)$相对于$\bigwedge^n(E)$的基$\{e\}$的*回归乘积*，用$x \vee y$表示，是元素$\phi(\phi(x) \wedge \phi(y))$，同构的$\phi$相对于$e$。此乘积仅定义在可逆因子内，具体取决于所选的基 $\{e\}$。证明如果 $x$ 是一个 $p$ 向量且 $y$ 是一个 $q$ 向量，则 $x \vee y = 0$ 如果 $p + q < n$ 且如果 $p + q \geq n$，$x \vee y$ 是一个 $(p + q - n)$ 向量，使得

回归乘积在$\bigwedge(E)$上相对于加法和定义具有结合性和分配性，单位代数结构同构于外部代数结构。对于 E 上给定的基，将 $x \vee y$ 的分量表示为 $x$ 和 $y$ 的分量函数。