习题 5, § 5

令 E 为交换域 K 上的向量空间，并令 $T(E)$ 为 E 的张量代数。

(a) 证明$T(E)$包含没有除子为0，并且$T(E)$中唯一的可逆元是标量$\neq 0$。如果$\dim(E) > 1$，$T(E)$是非交换的K-代数。

(b) 令$u, v$为$T(E)$的两个元素。证明，如果$T(E)$存在两个元素$a, b$使得$ua = vb \neq 0$，则元素$u, v$之一是另一个倍数的右倍数。 （首先考虑$u$和$v$齐次的情况；约化考虑E是有限维的情况，写成$u = e_1u_1 + \cdots + e_nu_n$，$v = e_1v_1 + \cdots + e_nv_n$，其中$(e_k)$是E的基。结论通过论证归纳在$ua$的齐次成分的最小的次数上。）推出，如果$\dim(E) > 1$，环$T(E)$不承认左分式的域（I, § 9， 习题15)。

(c) 证明，对于 $T(E)$ 的两个非零元素 $u, v$ 是可置换的，E 中存在向量 $x \neq 0$ 是充分必要的，使得 $u$ 和 $v$ 属于到子代数由$x$生成$T(E)$（使用（b））。推出，如果$\dim(E) > 1$，$T(E)$的中心等于K。