习题 11, § 7

设K为交换域，其中$2 = 0$，A多项式环$K[X, Y, Z]$和E A-模$A^3/M$，其中M为$A^3$的元素$(X, Y, Z)$生成的$A^3$的子模；最后，令 F 为 A 除以理想值 $AX^2 + AY^2 + AZ^2$ 的商 A-模。证明F中存在$E^2$的交错的双线性映射，即$E^2$无双线性映射在F中的偏斜对称，但$T^2(E)$模$\mathfrak{g}_2''$等于核自同态$z \mapsto az$（将$T^2(E)$视为$T^2(A^3)$的商模并表明$z \mapsto az$的核是对称的张量$S'_2(A^3)$模典范像）。