习题 6, § 1

设$K$为交换域、$l$集合和$L$在集合$l$上的自由结合律代数超过环$K$（III，p. 448， Def. 2) 分级定义为 III、p. 458。我们$L$的元素和元素的定义次数和同质元素的概念如IV，p. 2。 a) 证明 $\deg(uv) = \deg(u) + \deg(v)$ 和 $\deg(u + v) \leq \sup(\deg(u), \deg(v))$ 对应于 $u, v \in L$。 b) 给定$u, v, q, q' \in L$使得$\deg(u) \geq \deg(v)$和$\deg(qu - q'v) < \deg(qu)$；证明存在$q'' \in L$使得$\deg(u - q''v) < \deg(u)$。 c) 给定 $u, v, q, q' \in L$ 和 $\deg u \geq \deg v > \deg(qu - q'v)$；证明存在$q'' \in L$使得$\deg(u - q''v) < \deg v$。 d) 给定 $u, v, u', v' \in L$，齐次且满足 $uv = u'v'$ 和 $\deg v \geq \deg v' \geq 0$；存在$t \in L$使得$u' = ut, v = tv'$。 e) 给定$u, v \in L$，齐次，使得$uv = vu$，存在$w \in L, a, b \in K$和$m, n \in K$使得$u = aw^m, v = bw^n$。 f) 令$u, v \in L$存在$a, b \in L$，非零，且$au = bv$；存在$m, d \in L$，使得左倍数（或右除子）公共的到$u$和$v$是$m$（或右除子）的左倍数（或右除子）。 $d$）。