习题 1, § 4

令$u(X) = \sum_{n=0}^m \alpha_n X^n$成为幂级数超过交换域$K$。 a) 要使 $u$ 成为 $K(X)$ 的有理分数，必须存在元素的有限序列、$K$ 的元素的$(\lambda_i)_{1 \leq i \leq q}$，而不是所有的零和整数 $d \geq 0$，这样对于所有$n \geq d$ 我们有

b) 放置 （《汉克尔行列式》）表明，如果 $H_{d+i}^{(q+1)} = 0$ 和 $H_{d+i}^{(q)} \neq 0$ 对于每个整数 $j \geq 0$，则 $u(X)$ 是有理分数（使用 a)）。 c) 证明身份 （cf.III、p. 639、习题10）。推断如果 $H_{m+j}^{(k+1)} = 0$ 对于 $0 \leq j \leq r-1$，则 $r$ 行列式 $H_{m+j}^{(k)}$（其中 $1 \leq j \leq r$）要么全部为零，要么全部非零。 d) 从 b) 和 c) 推出，要使 $u(X)$ 成为有理分数，存在两个整数 $d$ 和 $q$ 是充分必要的，使得 $H_{d+i}^{(q+1)} = 0$ 对于所有整数 $j \geq 0$。 e) 设$k$为$K$中的子域，且认同为$K(X)$、$k(X)$和$k[[X]]$，且子环为$K((X))$。证明$k[[X]] \cap K(X) = k[[X]] \cap k(X)$。