习题 8, § 5

令 k 为交换环且 E K-模。 a) 证明在 E (IV, p. 43) 上对称张量的代数 $TS(E)$ 中存在代数 $\Gamma(E)$ (习题 2) 的唯一同态 g，使得

对于任意$x \in E, p \in \mathbf{N}$。证明如果 E 是自由K-模且基 $(e_i)_{i \in I}$，则 g 是分级 Bigebra 的同构（cf. 习题 3 和 IV、p. 51）和元素 $\gamma_a = \prod \gamma_{a(i)}(e_i)$，其中$a \in \mathbf{N}^{(I)}$、形式基共$\Gamma(E)$。

b) 设$\xi$为$(1, n)$的映射入$\mathbf{N}$，并令$p = \sum_{i=1}^n \xi(i)$。证明对于E的元素的每个序列$x_1, x_2, \ldots, x_n$，g下的$\gamma_{\xi(1)}(x_1) \ldots \gamma_{\xi(n)}(x_n)$像是$\sum \varphi_{\varphi(1)} \otimes \ldots \otimes \varphi_{\varphi(p)}$，其中$\varphi$超过$(1, p)$的所有映射的集合进入$(1, n)$，使得卡$\varphi^{-1}(i) = \xi(i)$对应于每个$i \in (1, n)$（cf.IV，p. 45，提案3）。 c) 对于任意 $x_1, \ldots, x_p \in E$，令 f 为 $\otimes^p E$ 的映射到由 $f(x_1 \otimes \ldots \otimes x_p) = \gamma_1(x_1) \ldots \gamma_1(x_p)$ 定义的$\Gamma_p(E)$。证明对于每个张量 $t \in \otimes^p E$，$(g \circ f)(t)$ 是 t 的对称化。证明对于每个$u \in \Gamma_p(E)$，我们有$(f \circ g)(u) = p! \ u$。