习题 9, § 6

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代数, IV, p. 100

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a) 令 K 为域且 $X_1, \ldots, X_n$ 不确定。证明对于任何指数 $v_1 < v_2 < \ldots < v_n$ ，行列式 $\det(X_i^{v_j})$ 在 $K(X_1, \ldots, X_n)$ 中都不为零。

b) 令 $s_k$ ( $1 \leq k \leq n$ ) 为域 $K(X_1, \ldots, X_n)$ 的 $X_i$ 和 $r_1, \ldots, r_n$ n 元素中的初等对称多项式。我们（用一个新的不确定 T）

R(T) = \frac{1 + r_1 T + \cdots + r_n T^n}{1 + s_1 T + \cdots + s_n T^n} = 1 + u_1 T + \cdots + u_k T^k + \cdots.

证明如果系数 $u_k$ 中的 $n$ 为零，则所有 $u_k$ 均为零。（将 $R(T)$ 分解为简单的分数。）

*c) 假设 K 为特征零。令 $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ 为 $\mathbf{N}$ 的n元素 $\geq 1$ 的集合，并令M为 $\mathbf{N}$ 中这个集合的补集；还假设 M 在加法下稳定。证明如果 $y_1, \ldots, y_n$ 是 $K(X_1, \ldots, X_n)$ 的 n 元素使得

P_{v_j}(y_1, \ldots, y_n) = P_{v_j}(X_1, \ldots, X_n)

对于 $1 \leq j \leq n$ ，则 $y_j = X_j$ 对于 $1 \leq j \leq n$ ，可能除了置换。（考虑 $\log R(T) = v_1 T + v_2 T^2 + \cdots + v_k T^k + \cdots$ 中的展开，观察 $v_{v_j} = 0$ 对应 $1 \leq j \leq n$ ，并检查 $v_k$ 和 $u_k$ 之间的关系。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。