习题 12, § 10

令 K 为无限域，K 的次数 $n$ 的 N 伽罗瓦扩张，$f \in K[X]$ N 的元素 0 的最小多项式，使得 $N = K(0)$。 群$\Gamma = \mathrm{Gal}(N/K)$可以通过对$N[X]$中的多项式的系数进行运算来进行运算。 a) 设$g \in N[X]$为次数$\leq n - 1$的多项式，使得$g(\theta) = 1, g(\sigma(\theta)) = 0$适用于$\Gamma$中的所有$\sigma \neq 1$。对于$\Gamma$的每个子群$A$，令$p_A \in N[X]$为多项式$\det(\sigma \tau(g))_{\sigma \in A, \tau \in A}$。表明

并推导出$p_A \neq 0$。 b) 推论存在元素$a \in K$，使得对于$g(a)$的$\Gamma$共轭的每个子群$A$超过子域$k(\Delta)$形式的正常基 N 超过$k(\Delta)$。