习题 9, § 10

令K为特征p的域，K的$\Omega$代数闭扩张，$\Omega$的x元素，使得$x \notin K$和$\Omega$子扩展的集合的M极大元素不是包含x （V，p. 148，例 9），因此 $\Omega$ 是 M 的代数扩张 (\emph{loc. cit.})。 a) 证明如果 M 不是完美域，$\Omega$ 是 M 的 p 根式扩展，并是 $n \geq 0$ 的域 $M(x^{p^{-n}})$（观察对于 M 上的每个元素 $y \in \Omega$ p 根式，域 $M(y)$ 包含于 $M(x)$；推断我们必然有$[M(x) : M] = p$，因为在M上可分离的$\Omega$的每个元素必然在M中）。 b) 证明如果 M 是完美的，$M(x)$ 是素数次数 q 的 M 的伽罗瓦扩张，并且对于 $\Omega$ 的每个子扩展 N（即 M 上有限次数的伽罗瓦），次数 $[N : M]$ 是 q 的幂。 （取q为素数数除$[M(x) : M]$；注，M中的每个扩张不同于M并且包含在$\Omega$包含于$M(x)$中，并使用例8，a）。）