习题 11, § 12

令 f 为 $\mathbf{Z}[X]$ 中的一元多项式，在 $\mathbf{Q}[X]$ 中不可约，并令 p 为素数数，使得 $\mathbf{F}_p[X]$ 中 f 的典范像 $\overline{f}$ 是没有倍数根的多项式。如果$\Gamma$（或$\Gamma'$）是$\mathbf{Q}$（或$\mathbf{F}_p$）上的多项式f（或$\overline{f}$）的伽罗瓦群，则$\Gamma$的子群的定义同构到$\Gamma'$。推断如果 $\overline{f} = g_1 g_2 \ldots g_r$ 其中 $g_j$ 在 $\mathbf{F}_p[X]$ 中不可约，并且如果 $g_j$ 为次数 $n_j$（因此 f 有次数 $n = n_1 + n_2 + \ldots + n_r$），则群 $\Gamma$，qua $\mathfrak{S}_n$ 包含乘积 $\sigma_1 \sigma_2 \ldots \sigma_r$ 循环的子群不相交的支撑，$\sigma_j$ 阶 $n_j$ $1 \leq j \leq r$ (cf. I， p. 62）。 推广到 f 不是单调但其首项系数不能被 p 整除的情况。