习题 14, § 12

令$K$为有限域，无论是否可交换，令$Z$为其中心、$Z$的元素和$n$秩$[K : Z]$的$q$数。 a) 如果$E$是$K$包含$Z$中的子域，则证明$|E : Z|$除$n$。 b) 设$x \in K$为元素而不是属于到$Z$；表明$K^*$中$x$的不同共轭$yxy^{-1}$的数是形式$(q^n-1)/(q^d-1)$，其中$d$除$n$并且不同于$n$（考虑元素的$K$集合可与$x$置换，并使用a))。 c) 从b)推导出$q-1$可被整数$\Phi_n(q)$整除（划分群$K^*$整除共轭类并使用V、p. 82的关系(6)）。 d) 证明如果$n > 1$，则$\Phi_n(q) > (q-1)^{\varphi(n)}$（将$\Phi_n(X)$分解为复数的域$\mathbf{C}$）。推断我们必须有$K = Z$，在其他字中，$K$必然是可交换的（Wedderburn的定理）。