习题 5, § 12

令 K 为 q 元素的有限域，其中 q 不是 2 的幂，并令 $a_1, a_2, b$ 为 K 的三个元素，使得 $a_1a_2 \neq 0$。证明方程 $a_1x_1^2 + a_2x_2^2 = b$ 的解 $(x_1, x_2) \in K^2$ 的数 $\nu$ 由以下公式给出： 1" 如果 K 中 $b = 0$ 和 $-a_1a_2$ 不是平方，则$\nu = 1$； 2" 如果 K 中 $b \neq 0$ 和 $-a_1a_2$ 不是平方，则$\nu = q + 1$； 3" 如果 K 中 $b = 0$ 和 $-a_1a_2$ 为平方，则$\nu = 2q - 1$； 4" 如果 $b \neq 0$ 和 $-a_1a_2$ 在 K 中为平方，则$\nu = q - 1$。 （当$-a_1a_2$不是平方时，邻接$X^2 + a_1a_2$的K根，并利用有限域的乘法群是循环的事实。）