习题 9, § 12

令 K 为 q 元素的有限域，并令 $r = q^n$ 为整数 $n \geq 1$。对于 $K[X]$ 的每个多项式 $P(X) = \sum_{j=0}^m a_j X^j$，将

和

a) 证明如果 P、Q 是 $K[X]$ 中的两个多项式，并且如果 $R = PQ$，则我们有 $\tilde{R}(X) = \tilde{P}(\tilde{Q}(X))$。推论对于 $K[X]$ 的两个多项式 F、G 使得 F 除 G 来说，$\hat{F}$ 应该除 $\hat{G}$ 是充分必要的。 （要知道条件就足够了，请考虑F对G的欧几里得除法。） b) 令 F 为 $K[X]$ 中的不可约多项式，令 G 为$K[X]$ 中的任意多项式。如果存在整数 d $\geq 1$ 使得 $\hat{F}(X^d)$ 和 $\hat{G}(X^d)$ 有公共的根，则证明 F 除 G。（如果 H 是 $\hat{F}(X^d)$ 和 $\hat{G}(X^d)$ 的 GCD，则考虑集合多项式 $P \in K[X]$ 使得 H 除 $\hat{P}(X^d)$。） c) $K[X]$ 除的每个多项式 $F \neq 0$ 形式 $X^N - 1$ 的多项式。证明如果$r-1 = de$并且如果$\alpha$是$\hat{F}(X^d)$的根，那么属于到次数$nN$的扩张K并推导出每个不可约的因子的次数 $\hat{F}(X^d)$ 于 $K[X]$ 除 $nN$（使用 a)）。若进一步 e 与 $dN$ 互质且若 m 为次数 $n$ K 扩张 $\alpha$ 次数，则证明 $m$ 除 N（使用$(r^N - 1)/e \equiv dN$（众数））。 d) 对于 c) 中的记号，假设 F 是不可约的，并且 N 是整数 h 中最小的，使得 F 除 $X^h - 1$。如果 e 和 $dN$ 互质，并且如果 $n$ 除 N 的每个素数因子，则证明 $\hat{F}(X^d)$ 的每个不可约因子都是次数 $nN$。 （注，由于 b），我们就有$m = N$。） e) 特别从 d) 中推导出，如果 $P(X) = \sum_j a_j X^j$ 是 $K[X]$ 中的不可约多项式，且 N 是整数 h 中最小的，使得 $P(X)$ 除 $X^h - 1$，则 $\sum u_j X^{q^j - 1}$ 的每个不可约因子是次数N。